Exponentialverteilung Beispiel Essay

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Die Exponentialverteilung (auch negative Exponentialverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, die durch eine Exponentialfunktion gegeben ist. Sie wird als Modell vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Dauer von zufälligen Zeitintervallen benutzt, wie z. B.

  • Zeit zwischen zwei Anrufen
  • Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
  • Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen.
  • als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der Versicherungsmathematik

steht für die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Wie aus dem Diagramm ersichtlich, sind kürzere Intervalle zwischen Ereignissen (Intervalllänge ) wahrscheinlicher. Seltener treten aber auch sehr lange Intervalle auf. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann durchaus Werte >1 annehmen (z. B. für ), da die Fläche unter der Kurve auf 1 normiert ist. Konkrete Wahrscheinlichkeitsangaben über das Eintreten des nächsten Ereignisses gewinnt man hier am ehesten aus der Verteilungsfunktion.

Oft ist die tatsächliche Verteilung keine Exponentialverteilung, jedoch ist die Exponentialverteilung einfach zu handhaben und wird zur Vereinfachung unterstellt. Sie ist anwendbar, wenn ein Poisson-Prozess vorliegt, also die poissonschen Annahmen erfüllt sind.

Die Exponentialverteilung ist ein Teil der viel größeren und allgemeineren Exponentialfamilie, einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die sich durch eine leichte Handhabbarkeit auszeichnen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetige Zufallsvariable genügt der Exponentialverteilung mit dem positiven reellen Parameter , wenn sie die Dichtefunktion

besitzt.

Der Parameter besitzt den Charakter einer Ereignisrate und den eines Ereignisabstandes (mittlere Reichweite oder mittlere Lebensdauer).

Eine (vor allem im angelsächsischen Raum übliche) alternative Parametrisierung führt zur Wahrscheinlichkeitsdichte

.

Die Beziehung zur obigen Parametrisierung ist dabei einfach . Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, den Erwartungswert explizit anzugeben, also von einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert zu sprechen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die (kumulative) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall von 0 bis x.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Intervalllänge größer als x bis zum nächsten Ereignis beträgt .

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert, denn

.

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als Mean Time Between Failures (MTBF) bezeichnet.

Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Exponentialverteilung besitzt ihren Median bei

.

Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei an, d. h. der Modus ist

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz ergibt sich analog mittels

.

Standardabweichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Standardabweichung ergibt sich

.

Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten. Es gilt

.

Also gilt

.

Geometrischer Mittelwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Geometrische Mittel der Exponentialverteilung ist

,

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Weitere Streumaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die mittlere absolute Abweichung

ist kleiner als die Standardabweichung, die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians

ist noch etwas kleiner.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer rechtsschiefen Verteilung, für die auch gilt.

Wölbung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wölbung besitzt unabhängig vom Parameter immer den Wert 9.

Quantile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist

.

Damit ist der Interquartilabstand.

Höhere Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die k-ten Momente sind

.

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen.

Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

.

Damit ist die k-te Kumulante

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung ist

.

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der Exponentialverteilung beträgt

.

Überlebenswahrscheinlichkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebensfunktion und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden

Die Ausfallrate ergibt sich zu

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet.

Gedächtnislosigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne gedächtnislos: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable den Wert überschreitet, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie um mindestens überschreitet genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter ) den Wert überschreitet, formal

.
Dichte der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für λ
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für λ

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